Fermat, el príncipe de los aficionados
Fue el historiador de las matemáticas E. T. Bell quien concedió a Fermat este título, y además lo describió como el matemático más importante del siglo XVII, si dejamos aparte a Newton, que desarrolló gran parte de su obra en el siglo XVIII1. A continuación, tendremos oportunidad de justificar ambas afirmaciones.
Pierre Fermat nació el año 1601 en un pueblecito llamado Bèumont de Lomanha, en la región francesa del Tarn, a una jornada de camino de Toulouse, hijo de una familia de mercaderes ricos. Existe una cierta confusión sobre la fecha de nacimiento, pero está documentado que fue bautizado en agosto de 1601 en la iglesia del pueblo.
Retrato de Pierre de Fermat en su juventud |
Probablemente comenzó sus estudios en el monasterio franciscano de su pueblo, para trasladarse posteriormente a la Universidad de Toulouse. Hacia 1620 estudió en la Universidad de Burdeos. Allí empezó a desarrollar investigaciones matemáticas importantes: en 1629 terminó su reconstrucción del libro De Locis Planis, de Apolonio de Perga. También desarrolló un importante trabajo sobre máximos y mínimos, que entregó al matemático Étienne d'Espagnet. Poco después se trasladó a Orleans, en cuya universidad se graduó en leyes. En seguida se instaló en Toulouse donde el 14 de mayo de 1631, a la edad de 30 años, compró un puesto de Commisaire aux requêtes, es decir, magistrado del Parlamento y, debido al cargo que ahora ocupaba, tuvo derecho a cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat. El 10 de junio del mismo año se casó con Louise de Long, prima hermana de su madre, con quien tuvo tres hijos: un varón, que a su muerte publicó su obra, y dos mujeres, que fueron monjas. En 1648 fue ascendido al cargo de Consejero Real en el Parlamento de Toulouse, cargo que ejerció con gran dignidad y talento hasta su muerte, en Castres, el 12 de enero de 1665.
El actual Collège Pierre de Fermat en Toulouse1 |
Acabamos de describir la biografía de un funcionario de provincias que apenas si se alejó nunca de la ciudad donde empezó a trabajar. ¿Dónde están entonces sus matemáticas? ¿Cuáles fueron los caminos que llevaron a este abogado del Parlamento de Toulouse a convertirse el padre de toda una nueva rama de las matemáticas como es la Teoría de Números? En realidad, sabemos muy poco sobre su formación. Era lo que podríamos llamar un erudito en Humanidades. Bell lo describe del siguiente modo:
Como Fermat vivió tranquilo y reposadamente, evitando las disputas sin provecho, y como nunca tuvo una cariñosa hermana como Gilberte, la hermana de Pascal, que recordara sus prodigios de adolescente para la posteridad, poco es lo que se sabe de sus años de estudio. Deben haber sido brillantes, pues los descubrimientos de su madurez dan prueba de ello. (…)
Sus conocimientos de las principales lenguas europeas y de la literatura de la Europa continental eran muy grandes y completos, y la filosofía griega y latina le son deudoras de diversas e importantes correcciones. En la composición de versos latinos, franceses y españoles, una de las tareas galantes de la época, mostró gran habilidad y fino gusto2.
Toda su dedicación a las matemáticas se desarrolló de manera poco convencional. Los matemáticos de la época estudiaban los clásicos griegos, planteaban sus resultados y los demostraban de acuerdo con los criterios comúnmente aceptados. La discusión con el resto de sus colegas se basaba sobre la corrección de dichas demostraciones. Fermat, en cambio, planteaba problemas que afirmaba haber resuelto sin publicar su demostración, lo que provocaba tensiones importantes con sus interlocutores.
Parece claro que la pasión de Fermat por la resolución de problemas matemáticos nace del estudio de los clásicos. Probablemente fue el matemático Beaugrand quien introdujo a Fermat en el mundo de los clásicos, en su época de Burdeos. Es probable que fuera él quien animó a Fermat a preparar la reconstrucción del libro Locis Planisi de Apolonio de Perga, que no fue publicado hasta después de su muerte. También conoció a otro matemático de la época con quien compartió trabajo en Toulouse, Pierre de Carcavi. Unos años más tarde Carcavi se trasladó a París, y puso a Fermat en contacto con Marin Mersenne, que hizo a menudo de intermediario en la correspondencia entre Fermat, Descartes y Pascal.
Descartes y Fermat tuvieron un objetivo común: utilizar los métodos algebraicos en boga para desarrollar la geometría. En otras palabras, se trata de los padres de lo que llamamos geometría analítica. Sin embargo, los caminos mentales por los que discurrían eran radicalmente distintos: Descartes, junto con Pascal y otros, utilizaban las matemáticas para ejemplificar su visión del mundo; eran fundamentalmente filósofos. En cambio, Fermat “jugaba” con las matemáticas y gozaba tanto trabajando en ellas como proponiendo retos a los demás. Por dicha razón, las relaciones entre ellos no fueron precisamente fluidas. De hecho, la mayoría de lo que podríamos llamar el stablishment matemático de la época se sentía ofendido al no poder demostrar las proposiciones que Fermat planteaba. De hecho, según Mahoney, Wallis llamó a Fermat maldito francés, mientras que Mersenne lo llamaba el sabio consejero de Toulouse. Es probable que no se produjeran rupturas gracias a los buenos oficios de Mersenne.
Es imposible intentar resumir la magna obra matemática de Fermat. Dado que fue el padre de esta disciplina, citaremos únicamente algunas de sus aportaciones a la Teoría de Números. La primera de ellas es el llamado teorema de Fermat o teorema pequeño de Fermat, que se enuncia como sigue:
Sea n cualquier número entero, y p número primo. Entonces np-n es divisible por p.
Como era habitual en él, Fermat planteó el resultado sin presentar ninguna clase de demostración. La primera fue descrita por Leibniz, hacia 1683.
Cualquier lego se preguntará de inmediato por qué consideramos importante este resultado o, en general unos resultados matemáticos y no otros. Bell lo justifica de la siguiente manera:
Es difícil o quizá imposible saber por qué algunos teoremas de Aritmética se consideran “importantes”, mientras que otros igualmente difíciles son considerados triviales. Un criterio, aunque no necesariamente concluyente, es que el teorema sea usado en otros campos de la Matemática. Otro criterio es el de que sugiera investigaciones en Aritmética o Matemática en general, y un tercer criterio es que en algún aspecto sea universal. El teorema de Fermat justamente satisface todas esas algo arbitrarias exigencias: es de uso indispensable en muchas partes de la Matemática, incluyendo la teoría de grupos (…), ha sugerido muchas investigaciones (…). Finalmente, es universal, en el sentido de que juzga una propiedad de todos los números primos -esas propiedades generalmente son extremadamente difíciles de encontrar y se conocen muy pocos casos.3
Aunque no tiene relación con la Teoría de Números, es imprescindible destacar la fundamental aportación que hizo Fermat en el campo de la Óptica, que tuvo como consecuencia la formulación de las leyes de reflexión y de refracción. El conocido como principio de Fermat afirma que, para desplazarse entre dos puntos, un rayo de luz siempre toma el camino que requiere el tiempo más corto.
Entre las proposiciones que planteó Fermat destacaremos también la siguiente: todo número primo de la forma 4k+1 es suma de dos cuadrados. Por ejemplo, 37=12+62. La demostración de dicha proposición fue presentada por Euler en 1749, tras trabajar en ella más de siete años.
También destacaremos, por su trascendencia mediática, el conocido como último teorema de Fermat. El matemático venía trabajando el tema desde años antes, indicando que un cubo no puede expresarse como suma de cubos. Pero su formulación se encuentra en el margen del Diofanto de Bachet, como tantas otras aportaciones del maestro:
Por el contrario, es imposible descomponer un cubo en dos cubos, una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, de un modo general, cualquier potencia superior a la segunda en suma de dos potencias del mismo grado. Yo he descubierto una demostración maravillosamente exacta, pero este margen es demasiado estrecho para desarrollarla.4
Como es sabido, dicho teorema no pudo ser demostrado hasta 1993 cuando A. Wiles planteó por segunda vez su demostración, tras un primer intento fallido. Atrás quedaron largos años, o siglos, durante los cuales muchas de las mentes más preclaras de las matemáticas intentaron dar con la demostración del último teorema de Fermat. ¿Es posible que el genio estuviera equivocado? Como nos explica Bell, todas las proposiciones y teoremas que Fermat planteó sin demostración fueron posteriormente demostradas. ¿Debemos aceptar que en este caso el genio se equivocó? Nunca lo sabremos con certeza, pero parece lo más probable.
Fermat siempre se negó a poner en limpio sus trabajos. A su muerte, en 1665, su hijo recopiló los trabajos de su padre, tanto sus notas al margen como la correspondencia que durante su vida mantuvo con Descartes, Pascal, Mersenne, y fueron publicados con el título de Oeuvres. Podemos visitar su tumba en el precioso pueblo de Castres, a unos 70 Km. al este de Toulouse.
1 (2009) Bell, E. T. Los grandes matemáticos. Ed. Losada, Buenos Aires. Edición original de 1948 con el título Men of Mathematics.
2 Op. cit. pág. 76-77.
3 Op. cit. pág. 86-87.
4 Fermat, P. Oeuvres, III, pág. 241.